A partir da reunião com a Profª Ana Moni, foram obtidos dados que descrevem uma elevação no nível de um afluente do Rio Sapucaí entre os dias 28/02/2011 e 01/03/2011. Essa alteração, por sua vez, provocou efeitos no nível deste, fato que justifica a análise do caso em questão. Para uma estação de monitoramento no afluente, o gráfico obtido é mostrado abaixo:
A partir disso, o grupo decidiu ser uma análise razoável assumir tal comportamento como descrito por uma equação diferencial de segunda ordem com amortecimento supercrítico, como descrito pela equação (1) e analisada conforme a equação (2), o que levou ao seguintes passos para a obtenção do primeiro modelo.
ay′′+by′+ky=D. (1)
y′′+ γy′+ ω²y=d. (2)
1º passo - Condições iniciais (t=0)
A condição escolhida como inicial foi a do dia 28/02/2011, ao 12:00, que apresentava os seguintes dados, onde y(t) é a cota altimétrica do rio medida a partir do nível do mar, em m. Assumindo que a aceleração inicial seja nula:
y(0)=851,2723 m
y'(0)=(851,9023-851,2723)/1 = 0,03 m/s
y"(0)=0 m/s²
Com isso, nesse passo, foi possível obter uma relação entre os coeficientes b e k.
2º passo - Ápice (t=6)
Nesse ponto, os dados são os seguintes:
y(6)=854,1963 m
y'(6)=0 m/s
y"(6)=[y'(7)-y'(6)]/1=(853,8733-854,0593)/1 = -0,186 m/s²
A partir disso, obteve-se uma relação entre os coeficientes a e b.
3º passo - Valor final (t=30)
Verifica-se que, a partir desse ponto, a cota altimétrica volta a estabilizar-se, o que implica no que segue.
y(6)=852,032 m
y'(6)=0 m/s
y"(6)=0 m/s²
Com isso, não importando o valor de t, y(t) deve fornecer sempre D=852,032 a partir desse ponto. Como y"(6) e y'(6) são nulos, obtém-se k=1. Do 2º passo, decorre que a=11,63 e b=4,257.Ou seja, a equação final é dada por (3).
11,8y′′+ 4,257y′+ y=852,32 (3)
Análise do modelo
Para a análise do modelo, o primeiro passo tomado pelo grupo foi converter a equação da forma (1) para a forma (2), resultando em (4).
y′′+ 0,361y′+ 0,085y=72,2 (4)
A partir desse resultado, foram realizadas algumas simulações no software Simulink, mostradas abaixo.
Simulação 1
Nessa simulação, utilizou-se a função de transferência de (3), considerando-a como uma equação homogênea, ao que se somou o termo 72,2 após o bloco da função.
Simulação 2
Na simulação 2, utilizou-se o modelo para a equação diferencial de segunda ordem, como mostrado na figura.
Conclusão
Dentre as 2 simulações, nenhuma se mostrou satisfatória ou coerente com o resultado. A partir disso, o grupo irá analisar as faltas do modelo acerca de corrigi-lo.
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